Contents

Thủ Thuật về Các bài toán về tích của vectơ với một số trong những 2022

Quý khách đang tìm kiếm từ khóa Các bài toán về tích của vectơ với một số trong những được Cập Nhật vào lúc : 2022-04-20 02:18:10 . Với phương châm chia sẻ Bí kíp Hướng dẫn trong nội dung bài viết một cách Chi Tiết 2022. Nếu sau khi tìm hiểu thêm tài liệu vẫn ko hiểu thì hoàn toàn có thể lại phản hồi ở cuối bài để Admin lý giải và hướng dẫn lại nha.

264

Cùng với chủ đề tổng và hiệu của hai vectơ, những nội dung về tích của vectơ với một số trong những cũng là phần kiến thức và kỹ năng quan trọng trong chương trình toán lớp 10. Trong nội dung nội dung bài viết dưới đây, hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm làm rõ ràng về lý thuyết, những dạng toán cũng như một số trong những bài tập điển hình về tích của vectơ với một số trong những, cùng tìm hiểu nhé!. 

Nội dung chính

  • Lý thuyết tích của vectơ với một số trong những
  • Định nghĩa tích của vectơ với một số trong những
  • Tính chất tích của vectơ với một số trong những
  • Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác
  • Điều kiện để hai vectơ cùng phương là gì?
  • Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương 
  • Các dạng toán điển hình về tích của vectơ với một số trong những 
  • Dạng 1: Dựng và tính độ dài vectơ chứa tích một vectơ với một số trong những
  • Dạng 2: Chứng minh những đẳng thức vectơ từ tài liệu đã cho
  • Dạng 3: Xác định điểm M thỏa mãn nhu cầu một đẳng thức vectơ cho trước
  • Dạng 4: Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương
  • Dạng 5: Chứng minh hai điểm trùng nhau, hai tam giác cùng trọng tâm
  • Dạng 6: Tìm tập hợp điểm thỏa mãn nhu cầu Đk vectơ cho trước
  • Dạng 7: Xác định tính chất của hình lúc biết một đẳng thức vectơ
  • Dạng 8: Chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị liên quan độ dài vectơ

Lý thuyết tích của vectơ với một số trong những

Định nghĩa tích của vectơ với một số trong những

Cho số (kne0) và vectơ (overrightarrowane0). Tích của vectơ (overrightarrowa) với số (k) sẽ là một vectơ, được kí hiệu là (koverrightarrowa), cùng hướng với (overrightarrowa) nếu (k>0), ngược hướng với (overrightarrowa) nếu (k<0) và có độ dài bằng (left | k right |left | overrightarrowa right |).

Ta quy ước (0overrightarrowa=overrightarrow0,koverrightarrow0=overrightarrow0)

Tính chất tích của vectơ với một số trong những

Với hai vectơ (overrightarrowa,overrightarrowb) bất kì, với mọi số (h) và (k), ta có: 

  • (kleft ( overrightarrowa+overrightarrowb right )=koverrightarrowa+koverrightarrowb)
  • (left ( h+k right )overrightarrowa=hoverrightarrowa+koverrightarrowa)
  • (hleft ( koverrightarrowa right )=left (hk right )overrightarrowa)
  • (1.overrightarrowa=overrightarrowa)
  • (left (-1 right ).overrightarrowa=-overrightarrowa)

Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác

  • Nếu (I) là trung điểm của đoạn thẳng của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có (overrightarrowMA+overrightarrowMB=2overrightarrowMI)
  • Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có (overrightarrowMA+overrightarrowMB+overrightarrowMC=3overrightarrowMG).

Chứng minh: 

  • (overrightarrowMA+overrightarrowMB=left (overrightarrowMI+overrightarrowIA right )+left (overrightarrowMI+overrightarrowIB right )=overrightarrowMI+overrightarrowMI+overrightarrowIA+overrightarrowIB=2overrightarrowMI) (do (overrightarrowIA+overrightarrowIB=overrightarrow0))
  • (overrightarrowMA+overrightarrowMB+overrightarrowMC=left (overrightarrowMG+overrightarrowGA right )+left (overrightarrowMG+overrightarrowGB right )+left ( overrightarrowMG+overrightarrowGC right )=3overrightarrowMG+left (overrightarrowGA+overrightarrowGB+overrightarrowGC right )=3overrightarrowMG) (do (overrightarrowGA+overrightarrowGB+overrightarrowGC=overrightarrow0))

Điều kiện để hai vectơ cùng phương là gì?

  • Điều kiện để hai vectơ (overrightarrowa) và (overrightarrowb) cùng phương (left (overrightarrowbneoverrightarrow0 right )) khi và chỉ khi có số (k) thỏa (overrightarrowa=koverrightarrowb).
  • Điều cần và đủ để (A,B,C) thẳng hàng là có số (k) sao cho (overrightarrowAB=koverrightarrowAC)

Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương 

Cho hai vectơ (overrightarrowa) và (overrightarrowb) không cùng phương và vectơ (overrightarrowx) tùy ý. Khi đó tồn tại hai số thực (h,k) sao cho (overrightarrowx=hoverrightarrowa+koverrightarrowb)

Chúng minh: 

Lấy vectơ (overrightarrowOC=overrightarrowx). Lấy (O) là yếu tố đầu và vẽ hai vectơ (overrightarrowOA=overrightarrowa) và (overrightarrowOB=overrightarrowb). Từ C kẻ những đường thẳng tuy nhiên tuy nhiên với những đường thẳng OA và OB.

Ta có: (overrightarrowOC=overrightarrowOA’+overrightarrowOB’).

Vì (overrightarrowOA’) và (overrightarrowOA) cùng phương nên tồn tại số h sao cho (overrightarrowOA’=h.overrightarrowOA).

(overrightarrowOB’) và (overrightarrowOB) cùng phương nên tồn tại số k sao cho (overrightarrowOB’=k.overrightarrowOB).

Vậy (overrightarrowOC=h.overrightarrowOA+k.overrightarrowOB)

Hay là (overrightarrowx=h.overrightarrowa+k.overrightarrowb). 

Các dạng toán điển hình về tích của vectơ với một số trong những 

Dạng 1: Dựng và tính độ dài vectơ chứa tích một vectơ với một số trong những

Phương pháp giải: 

Sử dụng định nghĩa tích của vectơ với một số trong những và những quy tắc về phép toán vectơ để dựng vectơ chứa tích của vectơ với một số trong những, phối hợp những định lý pitago và hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính độ dài của chúng.

Ví dụ 1: Cho tam giác đều (ABC) cạnh (a), điểm (M) là trung điểm của (BC). Dựng những vectơ sau và tính độ dài của chúng.

  • (frac12overrightarrowCB+overrightarrowMA)
  • (overrightarrowBA-frac12overrightarrowBC)
  • (frac12overrightarrowAB+2overrightarrowAC)
  • (frac34overrightarrowMA+frac52overrightarrowMB)
  • Cách giải: 

  • Do (frac12overrightarrowCB=overrightarrowCM) suy ra theo quy tắc ba điểm ta có: 
  • (frac12overrightarrowCB+overrightarrowMA=overrightarrowCM+overrightarrowMA=overrightarrowCA)

    Vậy (left |frac12overrightarrowCB+overrightarrowMA right |=left |overrightarrowCA right |=a)

         2. Vì (frac12overrightarrowBC=overrightarrowBM) ne theo quy tắc trừ ta có (overrightarrowBA-frac12overrightarrowBC=overrightarrowBA-overrightarrowBM=overrightarrowMA)

    Theo định lý Pitago ta có: 

    (MA=sqrtAB^2-BM^2=sqrta^2-left (fraca2 right )^2=fracasqrt32)

    Vậy (left |overrightarrowBA-frac12overrightarrowBC right |=overrightarrowMA=fracasqrt32)

        3. Gọi N là trung điểm AB, Q. là yếu tố đối xứng của A qua C và P là đỉnh của hình bình hành AQPN.

    Khi đó ta có (frac12overrightarrowAB=overrightarrowAN,2overrightarrowAC=overrightarrowAQ) suy ra theo quy tắc hình bình hành ta có (frac12overrightarrowAB+2overrightarrowAC=overrightarrowAN+overrightarrowAQ=overrightarrowAP)

    Gọi L là hình chiếu của A lên QN

    Vì (MNparallel ACRightarrow widehatANL=widehatMNB=widehatCAB=60^circ).

    Xét tam giác vuông ANL ta có: 

    (sinANL=fracALANRightarrow AL=AN.sinANL=fraca2sin60^circ=fracasqrt34)

    (cosANL=fracNLANRightarrow NL=AN.cosANL=fraca2cos60^circ=fraca4)

    Ta lại sở hữu (AQ=PNRightarrow PL=PN+NL=AQ+NL=2a+fraca4=frac9a4)

    Áp dụng định lý Pitago trong tam giác ALP ta có: 

    (AP^2=AL^2+PL^2=frac3a^216+frac81a^216=frac21a^24Rightarrowfracasqrt212)

    Vậy (left |frac12overrightarrowAB+2overrightarrowAC right |=AP=fracasqrt212)

        4. Gọi K là yếu tố nằm trên đoạn AM sao cho (MK=frac34MA), H thuộc tia MB sao cho (overrightarrowMH=frac52overrightarrowMB).

    Khi đó (frac34overrightarrowMA=overrightarrowMK,frac52overrightarrowMB=overrightarrowMH)  

    Do đó (frac34overrightarrowMA-frac52overrightarrowMB=overrightarrowMK-overrightarrowMH=overrightarrowHK)

    Ta có (MK=frac34AM=frac34.fracasqrt32=frac3asqrt38,MH=frac52MB=frac52.fraca2=frac5a4)

    Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông KMH ta có: 

    (KH=sqrtMH^2+MK^2=sqrtfrac25a^216+frac27a^264=fracasqrt1278)

    Vậy (left | frac34overrightarrowMA-frac52overrightarrowMB right |=KH=fracasqrt1278)

    Ví dụ 2: Cho hình vuông vắn ABCD cạnh a.

  • Chứng minh rằng (overrightarrowu=4overrightarrowMA-3overrightarrowMB+overrightarrowMC-2overrightarrowMD) không tùy từng vị trí điểm M.
  • Tính độ dài vectơ (overrightarrowu)
  • Cách giải: 

    Theo quy tắc ba điểm ta có: 

    (beginalign nonumberoverrightarrowu&=4overrightarrowMO+overrightarrowOA-3overrightarrowMO+overrightarrowOB+overrightarrowMO+overrightarrowOC-2overrightarrowMO+overrightarrowOD\ nonumber&=4overrightarrowOA-3overrightarrowOB+overrightarrowOC-2overrightarrowOD endalign)

    Mà (overrightarrowOD=-overrightarrowOB,overrightarrowOC=-overrightarrowOA) nên (overrightarrowu=3overrightarrowOA-overrightarrowOB)

    Suy ra (overrightarrowu) không tùy từng vị trí của điểm M.

         2. Lấy điểm (A’) trên tia OA sao cho (OA’=3OA) khi đó (overrightarrowOA’=3overrightarrowOA) do đó (overrightarrowu=overrightarrowOA’-overrightarrowOB=overrightarrowBA’)

    Mặt khác (BA’=sqrtOB^2+left (OA’ right )^2=sqrtOB^2+9OA^2=asqrt5)

    Suy ra (left | overrightarrowu right |=asqrt5).

    Dạng 2: Chứng minh những đẳng thức vectơ từ tài liệu đã cho

    Phương pháp giải: 

    Sử dụng những kiến thức và kỹ năng sau để biến hóa vế này thành vế kia hoặc cả hai biểu thức ở hai vế cùng bằng biểu thức thứ ba hoặc biến hóa tương tự về đẳng thức đúng: 

    • Các tính chất phép toán vectơ
    • Các quy tắc: Quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành và quy tắc phép trừ
    • Tính chất trung điểm:

    M là trung điểm đoạn thẳng (ABLeftrightarrowoverrightarrowMA+overrightarrowMB=overrightarrow0)

    M là trung điểm đoạn thẳng (ABLeftrightarrowoverrightarrowOA+overrightarrowOB=2overrightarrowOM) (Với O là yếu tố tùy ý)

    G là trọng tâm của tam giác (ABCLeftrightarrowoverrightarrowGA+overrightarrowGB+overrightarrowGC=overrightarrow0)

    G là trọng tâm của tam giác (ABCLeftrightarrowoverrightarrowOA+overrightarrowOB+overrightarrowOC=overrightarrowOG) (Với O là yếu tố tùy ý)

    Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AB và CD, O là trung điểm của IJ. Chứng minh rằng: 

  • (overrightarrowAC+overrightarrowBD=2overrightarrowIJ)
  • (overrightarrowOA+overrightarrowOB+overrightarrowOC+overrightarrowOD=overrightarrow0)
  • (overrightarrowMA+overrightarrowMB+overrightarrowMC+overrightarrowMD=4overrightarrowMO) với M là yếu tố bất kì
  • Cách giải: 

  • Theo quy tắc ba điểm ta có: 
  • (overrightarrowAC=overrightarrowAI+overrightarrowIJ+overrightarrowJC)

    Tương tự (overrightarrowBD=overrightarrowBI+overrightarrowIJ+overrightarrowJD)

    Mà I,J lần lượt là trung điểm của AB và CD nên (overrightarrowAI+overrightarrowBI=overrightarrow0,overrightarrowJC+overrightarrowJD=overrightarrow0)

    Vậy (overrightarrowAC+overrightarrowBD=overrightarrowAI+overrightarrowBI+overrightarrowJC+overrightarrowJD+2overrightarrowIJ=2overrightarrowIJ) (đpcm)

        2. Theo hệ thức trung điểm ta có (overrightarrowOA+overrightarrowOB=2overrightarrowOI,overrightarrowOC+overrightarrowOD=2overrightarrowOJ)

    Mặt khác O là trung điểm IJ nên (overrightarrowOI+overrightarrowOJ=overrightarrow0) 

    Suy ra (overrightarrowOA+overrightarrowOB+overrightarrowOC+overrightarrowOD=2left (overrightarrowOI+overrightarrowOJ right )=overrightarrow0) (đpcm)

         3. Theo câu 2. ta có (overrightarrowOA+overrightarrowOB+overrightarrowOC+overrightarrowOD=overrightarrow0) do đó với mọi điểm M thì 

    (overrightarrowOA+overrightarrowOB+overrightarrowOC+overrightarrowOD=overrightarrow0\ LeftrightarrowoverrightarrowOM+overrightarrowMA+overrightarrowOM+overrightarrowMB+overrightarrowOM+overrightarrowMC+overrightarrowOM+overrightarrowMD=overrightarrow0\ LeftrightarrowoverrightarrowMA+overrightarrowMB+overrightarrowMC+overrightarrowMD=4overrightarrowMO) (đpcm)

    Ví dụ 2: Cho tam giác ABC với AB = c, BC = a, CA = b và trọng tâm G. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu G lên cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng (a^2.overrightarrowGD+b^2.overrightarrowGE+c^2.overrightarrowGF=overrightarrow0)

    Cách giải: 

    Trên tia GD, GE, MF lần lượt lấy những điểm N, P, Q. sao cho GN = a, GP = b, GQ = c và dựng hình bình hành GPRN.

    Ta có (a^2.overrightarrowGD+b^2.overrightarrowGE+c^2.overrightarrowGF=overrightarrow0\ Leftrightarrow a.GD.overrightarrowGN+b.GE.overrightarrowGP+c.GF.overrightarrowGQ=overrightarrow0(*))

    Ta có: (a.GD=2S_bigtriangleup GBC,b.GE=2S_bigtriangleup GCA,c.GF=2S_bigtriangleup GAB), mặt khác G là trọng tâm tam giác ABC nên (S_bigtriangleup GBC=S_bigtriangleup GCA=S_bigtriangleup GAB) suy ra (a.GD=b.GE=c.GF).

    Vậy ((*)LeftrightarrowoverrightarrowGN+overrightarrowGP+overrightarrowGQ=overrightarrow0)

    Ta có (AC=GP=b,PR=BC=a) và (widehatACB=widehatGPR) (góc có cặp cạnh vuông góc với nhau)

    Suy ra (bigtriangleup ACB=bigtriangleup GPRhspace0.7cmleft (c.g.c right ))

    (Rightarrow GR=AB=c) và (widehatPGR=widehatBAC)

    Ta có (widehatQGP+widehatBAC=180^circRightarrowwidehatQGP+widehatGPR=180^circRightarrow Q.,G,R) thẳng hàng do đó G là trung điểm của QR

    Theo quy tắc hình bình hành và hệ thức trung điểm ta có: 

    (overrightarrowGN+overrightarrowGP+overrightarrowGQ=overrightarrowGR+overrightarrowGQ=overrightarrow0)

    Vậy (a^2.overrightarrowGD+b^2.overrightarrowGE+c^2.overrightarrowGF=overrightarrow0).

    Dạng 3: Xác định điểm M thỏa mãn nhu cầu một đẳng thức vectơ cho trước

    Phương pháp giải: 

    • Ta biến hóa đẳng thức vectơ về dạng (overrightarrowAM=overrightarrowa) trong số đó điểm A và (overrightarrowa) đã biết. Khi đó tồn tại duy nhất điểm M sao cho (overrightarrowAM=overrightarrowa), để dựng điểm M ta lấy A làm gốc dựng một vectơ bằng vectơ (overrightarrowa) suy ra điểm ngọn vectơ này đó đó là yếu tố M.
    • Ta biến hóa về đẳng thức vectơ đã biết của trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác

    Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD. Xác định điểm M, N, P sao cho: 

  • (2overrightarrowMA+overrightarrowMB+overrightarrowMC=overrightarrow0)
  • (overrightarrowNA+overrightarrowNB+overrightarrowNC+overrightarrowND=overrightarrow0)
  • (3overrightarrowPA+overrightarrowPB+overrightarrowPC+overrightarrowPD=overrightarrow0)
  • Cách giải: 

  • Gọi I là trung điểm BC suy ra (overrightarrowMB+overrightarrowMC=2overrightarrowMI)
  • Do đó  (2overrightarrowMA+overrightarrowMB+overrightarrowMC=overrightarrow0)

    (2overrightarrowMA+2overrightarrowMI=overrightarrow0LeftrightarrowoverrightarrowMA+overrightarrowMI=overrightarrow0)

    Suy ra M là trung điểm AI

        2. Gọi K, H lần lượt là trung điểm của AB, CD ta có 

    (overrightarrowNA+overrightarrowNB+overrightarrowNC+overrightarrowND=overrightarrow0Leftrightarrow2overrightarrowNK+2overrightarrowNH=overrightarrow0\ Leftrightarrow overrightarrowNK+overrightarrowNH=overrightarrow0Leftrightarrow N) là trung điểm của KH

        3. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD khi đó ta có (overrightarrowPB+overrightarrowPC+overrightarrowPD=3overrightarrowPG)

    Suy ra  (3overrightarrowPA+overrightarrowPB+overrightarrowPC+overrightarrowPD=overrightarrow0Leftrightarrow 3overrightarrowPA+3overrightarrowPG=overrightarrow0\ LeftrightarrowoverrightarrowPA+overrightarrowPG=overrightarrow0Leftrightarrow P) là trung điểm của AG.

    Ví dụ 2: Cho trước hai điểm A, B và hai số thực (alpha,beta) thỏa mãn nhu cầu (alpha+betane0). Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thỏa mãn nhu cầu (alphaoverrightarrowIA+betaoverrightarrowIB=overrightarrow0).

    Từ đó, suy ra với bất kì điểm M thì (alphaoverrightarrowMA+betaoverrightarrowMB=left ( alpha+beta right )overrightarrowMI)

    Cách giải: 

    Ta có: (alphaoverrightarrowIA+betaoverrightarrowIB=overrightarrow0LeftrightarrowalphaoverrightarrowIA+betaleft ( overrightarrowIA+overrightarrowAB right )=overrightarrow0\ Leftrightarrowleft ( alpha+beta right )overrightarrowIA+betaoverrightarrowAB=overrightarrow0Leftrightarrow left ( alpha+beta right )overrightarrowAI=betaoverrightarrowABLeftrightarrowoverrightarrowAI=fracbetaalpha+betaoverrightarrowAB)

    Vì A, B cố định và thắt chặt nên vectơ (fracbetaalpha+betaoverrightarrowAB) không đổi, do đó tồn tại duy nhất điểm I thỏa mãn nhu cầu Đk.

    Từ đó suy ra (alphaoverrightarrowMA+betaoverrightarrowMB=alphaleft ( overrightarrowMI+overrightarrowIA+ right )+betaleft ( overrightarrowMI+overrightarrowIB right )\ =left ( alpha+beta right )overrightarrowMI+left ( alphaoverrightarrowIA+betaoverrightarrowIB right )=left ( alpha+beta right )overrightarrowMI) (đpcm).

    Dạng 4: Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

    Phương pháp giải: 

    Sử dụng tính chất phép toán vectơ, ba quy tắc phép toán vectơ và tính chất trung điểm, trọng tâm tam giác.

    Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Đặt (overrightarrowa=overrightarrowAB,overrightarrowb=overrightarrowAC).

  • Hãy dựng những điểm M, N thỏa mãn nhu cầu (overrightarrowAM=frac13overrightarrowAB,overrightarrowCN=2overrightarrowBC)
  • Hãy phân tích (overrightarrowCM,overrightarrowAN,overrightarrowMN) qua những vectơ (overrightarrowa) và (overrightarrowb)
  • Gọi I là yếu tố thỏa: (overrightarrowMI=overrightarrowCM) Chứng minh I, A, N thẳng hàng
  • Cách giải: 

  • Vì (overrightarrowAM=frac13overrightarrowAB) suy ra M thuộc cạnh AB và (overrightarrowAM=frac13overrightarrowAB;overrightarrowCN=2overrightarrowBC), suy ra N thuộc tia BC và (CN=2BC).
  • Ta có: 
  • (beginalign nonumberoverrightarrowCM&=overrightarrowCA+overrightarrowAM=-overrightarrowAC+frac13overrightarrowAB=frac13overrightarrowa-overrightarrowb\ nonumberoverrightarrowAN&=overrightarrowAB+overrightarrowBN=overrightarrowAB+3overrightarrowBC=overrightarrowAB+3left ( overrightarrowAC-overrightarrowAB right )=-2overrightarrowa+3overrightarrowb\ nonumberoverrightarrowMN&=overrightarrowMA+overrightarrowAN=-frac13overrightarrowa-2overrightarrowa+3overrightarrowb=-frac73overrightarrowa+3overrightarrowb endalign)

        3. Ta có: 

    (overrightarrowAI=overrightarrowAM+overrightarrowMI=frac13overrightarrowAB+overrightarrowCM=frac13overrightarrowa+frac13overrightarrowa-overrightarrowb=-frac13left ( -2overrightarrowa+3overrightarrowb right )\ Rightarrow overrightarrowAI=-frac13overrightarrowANRightarrow A,I,N) thẳng hàng.

    Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh AB và CD sao cho (AB=3AM,CD=2CN) và G là trọng tâm tam giác MNB. Phân tích những vectơ (overrightarrowAN,overrightarrowMN,overrightarrowAG) qua những vectơ (overrightarrowAB) và (overrightarrowAC)

    Cách giải: Ta có: 

    (beginalign nonumberoverrightarrowAN&=overrightarrowAC+overrightarrowCN=overrightarrowAC-frac12overrightarrowAB\ nonumberoverrightarrowMN&=overrightarrowMA+overrightarrowAN=-frac13overrightarrowAB+overrightarrowAC-frac12overrightarrowAB\ nonumber&=-frac56overrightarrowAB+overrightarrowAC endalign)

    Vì G là trọng tâm tam giác MNB nên 

    (3overrightarrowAG=overrightarrowAM+overrightarrowAN+overrightarrowAB=frac13overrightarrowAB+left ( overrightarrowAC-frac12overrightarrowAB right )+overrightarrowAB=frac56overrightarrowAB+overrightarrowAC)

    Suy ra (overrightarrowAG=frac518overrightarrowAB+frac13overrightarrowAC)

    Dạng 5: Chứng minh hai điểm trùng nhau, hai tam giác cùng trọng tâm

    Phương pháp giải: 

    Để chứng tỏ hai điểm (A_1) và (A_2) trùng nhau, ta lựa chọn một trong hai cách sau: 

    Cách 1: Chứng minh (overrightarrowA_1A_2=overrightarrow0)

    Cách 2: Chứng minh (overrightarrowOA_1=overrightarrowOA_2) với O là yếu tố tùy ý.

    Để chứng tỏ hai tam giác ABC và A’B’C’ cùng trọng tâm ta làm như sau: 

    Cách 1: Chứng minh G là trọng tâm (bigtriangleup ABC) trùng với G’ là trọng tâm (bigtriangleup A’B’C’)

    Cách 2: Gọi G là trọng tâm (bigtriangleup ABC) (tức ta có (overrightarrowGA+overrightarrowGB+overrightarrowGC=overrightarrow0)) ta đi chứng tỏ (overrightarrowGA’+overrightarrowGB’+overrightarrowGC’=overrightarrow0)

    Ví dụ 1: Chứng minh rằng (overrightarrowAB=overrightarrowCD) khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

    Cách giải: 

    Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC suy ra (overrightarrowAI=overrightarrowID,overrightarrowCJ=overrightarrowJB)

    Do đó (overrightarrowAB=overrightarrowCDLeftrightarrowoverrightarrowAI+overrightarrowIJ+overrightarrowJB=overrightarrowCJ+overrightarrowJI+overrightarrowID\ LeftrightarrowoverrightarrowIJ=overrightarrowJILeftrightarrowoverrightarrowIJ=overrightarrow0) hay I trùng với J.

    Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, trên những cạnh AB, BC, CA ta lấy lần lượt những điểm M, N, P sao cho (fracAMAB=fracBNBC=fracCPCA). Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

    Cách giải: 

    Giả sử (fracAMAB=k) suy ra (overrightarrowAM=koverrightarrowAB;overrightarrowBN=koverrightarrowBC;overrightarrowCP=koverrightarrowCA)

    Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra (overrightarrowGA+overrightarrowGB+overrightarrowGC=overrightarrow0)

    Ta có: 

    (overrightarrowGM+overrightarrowGN+overrightarrowGP=overrightarrowGA+overrightarrowAM+overrightarrowGB+overrightarrowBN+overrightarrowGC+overrightarrowCP\ =overrightarrowAM+overrightarrowBN+overrightarrowCP=koverrightarrowAB+koverrightarrowBC+koverrightarrowCA=kleft ( overrightarrowAB+overrightarrowBC+overrightarrowCA right )=overrightarrow0)

    Vậy hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

    Dạng 6: Tìm tập hợp điểm thỏa mãn nhu cầu Đk vectơ cho trước

    Phương pháp giải: 

    Để tìm tập hợp điểm M thỏa mãn nhu cầu Đk vectơ ta quy về một trong những dạng sau: 

  • Nếu (left | overrightarrowMA right |=left | overrightarrowMB right |) với A, B phân biệt cho trước thì M thuộc đường trung trực của đoạn AB.
  • Nếu (left | overrightarrowMC right |=kleft | overrightarrowAB right |) với A, B, C phân biệt cho trước thì M thuộc đường tròn tâm C, bán kính bằng (k.left | overrightarrowAB right |).
  • Nếu (overrightarrowMA=k overrightarrowAB) với A, B, C phân biệt và k là số thực thay đổi thì:
    • M thuộc đường thẳng qua A tuy nhiên tuy nhiên với BC với (kin R)
    • M thuộc nửa đường thẳng qua A tuy nhiên tuy nhiên với BC và cùng hướng (overrightarrowBC) với (k>0)
    • M thuộc nửa đường thẳng qua A tuy nhiên tuy nhiên với BC và ngược hướng (overrightarrowBC) với (k<0)

         4. Nếu (overrightarrowMA=koverrightarrowBC,Bne C) với A, B, C thẳng hàng và k thay đổi thì tập hợp điểm M là đường thẳng BC

    Ví dụ 1: Cho tam giác ABC.

  • Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thỏa mãn nhu cầu: (2overrightarrowIA+3overrightarrowIB+4overrightarrowIC=overrightarrow0)
  • Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn nhu cầu: (left | 2overrightarrowMA+3overrightarrowMB+4overrightarrowMC right |=left | overrightarrowMB-overrightarrowMA right |)
  • Cách giải: 

    (2overrightarrowIA+3overrightarrowIB+4overrightarrowIC=overrightarrow0Leftrightarrow2overrightarrowIA+3left (overrightarrowIA+overrightarrowAB right )+4left ( overrightarrowIA+overrightarrowAC right )=overrightarrow0\ Leftrightarrow9overrightarrowIA=-3overrightarrowAB-4overrightarrowACLeftrightarrowoverrightarrowIA=-frac3overrightarrowAB+4overrightarrowAC9Rightarrow I) tồn tại và duy nhất.

         2. Với I là yếu tố được xác lập ở câu 1, ta có: 

    (2overrightarrowMA+3overrightarrowMB+4overrightarrowMC=9overrightarrowMI+left ( 2overrightarrowIA+3overrightarrowIB+4overrightarrowIC right )=9overrightarrowMI) và (overrightarrowMB-overrightarrowMA=overrightarrowAB) nên (left | 2overrightarrowMA+3overrightarrowMB+4overrightarrowMC right |=left | overrightarrowMB-overrightarrowMA right |Leftrightarrowleft | 9overrightarrowMI right |=left | overrightarrowAB right |Leftrightarrow MI=fracAB9)

    Vậy quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính (fracAB9)

    Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD. Với số k tùy ý, lấy những điểm M và N sao cho (overrightarrowAM=koverrightarrowAB,overrightarrowDN=koverrightarrowDC). Tìm tập hợp những trung điểm I của đoạn thẳng MN khi k thay đổi.

    Cách giải: 

    Gọi O, O’ lần lượt là trung điểm của AD và BC.

    Ta có: 

    (overrightarrowAB-overrightarrowAO+overrightarrowOO’+overrightarrowO’B) và (overrightarrowDC-overrightarrowDO+overrightarrowOO’+overrightarrowO’C)

    Suy ra (overrightarrowAB+overrightarrowDC=2overrightarrowOO’)

    Tương tự vì O, I lần lượt là trung điểm của AD và MN nên (overrightarrowAM+overrightarrowDN=2overrightarrowOI)

    Do đó (overrightarrowOI=frac12koverrightarrowAB+koverrightarrowDC=koverrightarrowOO’)

    Vậy k thay đổi, tập hợp điểm I là đường thẳng OO’.

    Dạng 7: Xác định tính chất của hình lúc biết một đẳng thức vectơ

    Phương pháp giải:

    Phân tính được định tính xuất phát từ những đẳng thức vectơ của giả thiết, lưu ý tới những hệ thức đã biết về trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác và kết quả “(moverrightarrowa+noverrightarrowb=overrightarrow0Leftrightarrow m=n=0) với (overrightarrowa,overrightarrowb) là hai vectơ không cùng phương”

    Ví dụ 1: Gọi M, N lần lượt là trung điểm của những cạnh AD và DC của tứ giác ABCD. Các đoạn thẳng AN và BM cắt nhau tại P. Biết: (overrightarrowPM=frac15overrightarrowBM;overrightarrowAP=frac25overrightarrowAN). Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành.

    Cách giải: 

    Ta có: 

    (beginalign nonumberoverrightarrowAB&=overrightarrowAM+overrightarrowMB=overrightarrowAM+5overrightarrowMP\ nonumber&=5overrightarrowAP-4overrightarrowAM=2overrightarrowAN-2overrightarrowAD\ nonumber&=2left ( overrightarrowAD+overrightarrowDN right )-2overrightarrowAD\ nonumber&=2overrightarrowDN=overrightarrowDCRightarrow ABCD endalign) là hình bình hành

    Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có những cạnh bằng a, b, c và trọng tâm G thỏa mãn nhu cầu: (a^2overrightarrowGA+b^2overrightarrowGB+c^2overrightarrowGC=overrightarrow0). Chứng minh rằng ABC là tam giác đều.

    Cách giải: 

    G là trọng tâm tam giác ABC nên: 

    (overrightarrowGA+overrightarrowGB+overrightarrowGC=overrightarrow0LeftrightarrowoverrightarrowGA=-overrightarrowGB-overrightarrowGC)

    Suy ra: 

    (a^2overrightarrowGA+b^2overrightarrowGB+c^2overrightarrowGC=overrightarrow0\ Leftrightarrow a^2-overrightarrowGB-overrightarrowGC+b^2overrightarrowGB+coverrightarrowGC=overrightarrow0\ Leftrightarrow b^2-a^2overrightarrowGB+c^2-a^2overrightarrowGC=overrightarrow0hspace0.7cmleft ( * right ))

    Vì (overrightarrowGB) và (overrightarrowGC) là hai vectơ không cùng phương, do đó (*) tương tự với:

    (left{beginmatrix b^2-a^2=0\ c^2-a^2=0 endmatrixright. Leftrightarrow a=b=c) hay tam giác ABC đều.

    Dạng 8: Chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị liên quan độ dài vectơ

    Phương pháp giải: 

  • Sử dụng bất đẳng thức cơ bản: 
  • Với mọi vectơ (overrightarrowa,overrightarrowb) ta luôn có: 

    • (left |overrightarrowa+overrightarrowb right |<left | overrightarrowa right |+left | overrightarrowb right |), dấu bằng xẩy ra khi (overrightarrowa,overrightarrowb) cùng hướng.
    • (left |overrightarrowa+overrightarrowb right |geleft | overrightarrowa right |-left | overrightarrowb right |), dấu bằng xẩy ra khi (overrightarrowa,overrightarrowb) ngược hướng
  • Đưa bài toán ban đầu về bài toán tìm cực trị của (left | overrightarrowMI right |) với M thay đổi
    • Nếu M là yếu tố thay đổi trên đường thẳng (Delta) khi đó (left | overrightarrowMI right |) đạt giá trị nhỏ nhất lúc và chỉ khi M là hình chiếu của M lên (Delta).
    • Nếu M là yếu tố thay đổi trên đường tròn (O) khi đó (left | overrightarrowMI right |) đạt giá trị nhỏ nhất lúc và chỉ khi M là giao điểm của tia OI với đường tròn; (left | overrightarrowMI right |) đạt giá trị lớn số 1 khi và chỉ khi M là giao điểm của tia IO với đường tròn.

    Ví dụ 1: Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Tìm điểm M thuộc đường thẳng d để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất (T=left | overrightarrowMA+overrightarrowMB-overrightarrowMC right |)

    Cách giải: 

    Gọi I là đỉnh thứ tư của hình bình hành ACBI thì (overrightarrowIA+overrightarrowIB-overrightarrowIC=overrightarrow0)

    Khi đó: 

    (beginalign nonumber T&=left | overrightarrowMI+overrightarrowIA+overrightarrowMI+overrightarrowIB-overrightarrowMI+overrightarrowIC right |\ nonumber&=left | overrightarrowMI+overrightarrowIA+overrightarrowIB-overrightarrowIC right |=left | overrightarrowMI right | endalign)

    Vậy T đạt giá trị nhỏ nhất lúc và chỉ khi M là hình chiếu của I lên đường thẳng d.

    DINHNGHIA.VN đã cùng bạn tìm làm rõ ràng và rõ ràng về chuyên đề tích của vectơ với một số trong những. Với những nội dung trên đây, mong rằng bạn đã tìm thấy những kiến thức và kỹ năng hữu ích phục vụ cho quy trình học tập và nghiên cứu và phân tích về chủ đề tích của vectơ với một số trong những. Chúc bạn luôn học tập thật tốt!.

    Xem thêm:

    Xem rõ ràng về chuyên đề Tích của vectơ với một số trong những qua bài giảng dưới đây nhé:

    ://.youtube/watch?v=6EzzXEVfawU
    (Nguồn: .youtube)

    Please follow and like us:

    Reply
    9
    0
    Chia sẻ

    Review Các bài toán về tích của vectơ với một số trong những ?

    You vừa Read nội dung bài viết Với Một số hướng dẫn một cách rõ ràng hơn về Video Các bài toán về tích của vectơ với một số trong những tiên tiến và phát triển nhất

    Chia Sẻ Link Download Các bài toán về tích của vectơ với một số trong những miễn phí

    Quý khách đang tìm một số trong những Chia Sẻ Link Cập nhật Các bài toán về tích của vectơ với một số trong những Free.

    Thảo Luận vướng mắc về Các bài toán về tích của vectơ với một số trong những

    Nếu sau khi đọc nội dung bài viết Các bài toán về tích của vectơ với một số trong những vẫn chưa hiểu thì hoàn toàn có thể lại Comment ở cuối bài để Tác giả lý giải và hướng dẫn lại nha
    #Các #bài #toán #về #tích #của #vectơ #với #một #số