Mẹo về Chọn công thức đúng của một dãy số cấp số nhân Chi Tiết

Pro đang tìm kiếm từ khóa Chọn công thức đúng của một dãy số cấp số nhân được Update vào lúc : 2022-05-05 12:07:09 . Với phương châm chia sẻ Bí kíp Hướng dẫn trong nội dung bài viết một cách Chi Tiết 2022. Nếu sau khi Read nội dung bài viết vẫn ko hiểu thì hoàn toàn có thể lại Comment ở cuối bài để Tác giả lý giải và hướng dẫn lại nha.

273

Cấp số nhân là phần kiến thức và kỹ năng quan trọng trong chương trình toán THPT. Trong số đó, những công thức cấp số nhân khá phức tạp. Vì vậy, để làm bài tập thì những em cần ghi nhớ và biết phương pháp vận dụng công thức. Cùng VUIHOC điểm lại những công thức và bài tập cấp số nhân qua nội dung bài viết sau này.

Nội dung chính

  • 2. Công bội q
  • 3. Tính chất cấp số nhân
  • 4. Tổng hợp những công thức tính cấp số nhân cơ bản
  • 4.1. Dạng 1: Nhận biết CSN
  • 4.2. Dạng 2: Tìm công bội của cấp số nhân
  • 4.3. Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số nhân
  • 4.4. Dạng 4: Tính tổng cấp số nhân của n số hạng thứ nhất trong dãy
  • 4.5. Dạng 5: Tìm CSN
  • 5. Cấp số nhân lùi vô hạn
  • 5.1. Định nghĩa
  • 5.2. Bài toán tổng của cấp số nhân lùi hạn

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) thoả mãn Đk Tính từ lúc số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số trong những không đổi (hằng số này được gọi là công bội q của cấp số nhân). Có nghĩa là:

$u_n$ là cấp số nhân với $Leftrightarrow forall n geq 2, u_n-1$ với $nepsilon N^ast $

Ví dụ: Dãy số $(u_n)$, với $u_n=3^n$ là một cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=3$ và công bội $q=3$.

2. Công bội q

q là công bội của cấp số nhân $(u_n)$ có 

Công bội $q=fracu_n+1u_n$

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân $u_1=3,u_2=9$. Tính công bội q

Ta có: 

$q=fracu_2u_1=frac93=3$

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân $u_3=8,u_4=16$ . Tính công bội q

Ta có: 

$q=fracu_4u_3=frac168=2$

3. Tính chất cấp số nhân

  • $(u_n)$ là một cấp số nhân thì từ số hạng thứ hai, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng cuối riêng với cấp số nhân hữu hạn) sẽ bằng tích của số đứng trước và số đứng sau nó.

$Leftrightarrow (u_k)^2=u_k-1.u_k+1$

  • Nếu một cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $(u_1)$ và công bội q thì số hạng tổng quát $(u_n)$ sẽ tiến hành tính bởi công thức:

$u_n=u_1.q^n-1$

Ví dụ : Cho cấp số nhân $(u_n)$ với công bội q > 0. 

Biết u1 = 1; u3 =3. Hãy tìm u4

Lời giải: 

Ta có: u22 = u1 . u3 = 3

          u32 = u2 . u4

Từ (1) do u2  > 0 ( vì u1=1 > 0 và q > 0)

$Rightarrow u_4=fracu_3^2u_2$

  • Khi q = 0 thì dãy có dạng u1; 0;0…;0;… và Sn=u1 

  • Khi q = 1 thì dãy có dạng u1;u1;u1;…;u1;… và Sn=nu1.

  • Khi u1 = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0; 0; 0;…; 0;… và Sn=u1.

4. Tổng hợp những công thức tính cấp số nhân cơ bản

4.1. Dạng 1: Nhận biết CSN

Phương pháp:

  • Tính $q=fracu_n+1u_n forall  n geq 1$

  • Kết luận: 

  • Nếu q là không đổi thì dãy un là cấp số nhân

  • Nếu q thay đổi thì dãy un không là cấp số nhân

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một cấp số nhân có số hạng thứ nhất là 2 và công bội là 2. Viết 6 số hạng thứ nhất.

Lời giải: 

Ta có 6 số hạng thứ nhất là: 2, 4, 8, 16, 32, 64

Ví dụ 2 : Cấp số nhân Un có số hạng thứ hai là 10 và số hạng thứ năm là 1250.

  • Tìm số hạng thứ nhất

  • Viết 5 số hạng thứ nhất

  • Lời giải:

  • Đặt r là công bội của cấp số nhân.

  •  Ta có: r(5-2) = r3 hay r3 = 1250 : 10 = 125 = 53. Từ đó r = 5. 

    $Rightarrow$ u1=10=5=2. 

    Số hạng thứ nhất là 2 

    Ví dụ 3: Bài cho cấp số nhân Un thỏa mãn nhu cầu: $u_n=3^fracn2+1$. Dãy số Un trên là cấp số nhân đúng hay sai? 

    Lời giải: 

    Ta có: $fracu_n+1u_n=frac3^fracn+12+13^fracn2+1=sqrt3=const$ không tùy từng n. Vậy dãy số (Un) là một cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=3sqrt3$ và công bội là $q=sqrt3$ 

    4.2. Dạng 2: Tìm công bội của cấp số nhân

    Phương pháp: Sử dụng những tính chất của CSN, biến hóa để tính công bội của CSN.

    Ví dụ 1: Cho cấp số nhân Un có U1 = 2, U2 = 4. Tính công bội q.

    Từ công thức ta có: $q=fracU_2U_1=frac42=2$

    Ví dụ 2: Cho cấp số nhân Un có U1 = 3, U2 = -6. Tính công bội q.

    Lời giải: 

    Từ công thức ta có: 

    $q=fracU_2U_1=frac-63=-2$

    Ví dụ 3: Đề cho ba số x,y,z lập thành một cấp số nhân và ba số x, 2y, 3z lập thành một cấp số cộng. Tìm công bội q.

    Lời giải: 

    Đặt q là công bội của cấp số nhân trên

    Các số x, 2y, 3z lập thành một cấp số cộng $Rightarrow x+3z=4y$

    4.3. Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số nhân

    Phương pháp:

    Để tìm số hạng của cấp số nhân ta sử dụng công thức tính số hạng tổng quát Un = U1.qn-1 , n ≥ 2.

    Ví dụ 1: Tìm u1 và q  của cấp số nhân biết: 

    Lời giải: 

    Ví dụ 2: Bài cho cấp số nhân (un) với u3 = 8 , u5 = 32. Số hạng thứ 10 của cấp số nhân đó là? 

    Lời giải: 

    Gọi q là công bội của cấp số nhân (un), ta có $q^2=fracu_5u_3=4 Rightarrow q = pm 2$

    Với q = 2, ta có u10 = u3 . q7 = 8 . 27 = 1024

    Với q = -2, ta có u10 = u3 . q7= 8 . (-2)7 = -1024

    Ví dụ 3: Cho cấp số nhân (un), biết rằng số hạng thứ nhất u1 = 3, công bội là 2. Hãy tìm số hạng thứ 5

    Lời giải: 

    Áp dụng công thức ta có : un = u1 . qn–1

    $Leftrightarrow$ u5 = u1 . q4 =3 . 24 = 48

    4.4. Dạng 4: Tính tổng cấp số nhân của n số hạng thứ nhất trong dãy

    Ta sử dụng công thức:

    Ví dụ 1: Tính tổng cấp số nhân:

    $S = 2 + 6 + 18 + 13122$

    Lời giải:

    (un) có u1=2 và q = 3. 

    $13122 = u_n = u_nq^n-1 = 2.3^n-1 Leftrightarrow n=9 Rightarrow S=S_9=u_1fracq_0-1q-1$

    Ví dụ 2: Bài cho cấp số nhân (un) với

  • 5 số hạng đầu của cấp số nhân trên là gì? 

  • 10 số hạng đầu của cấp số nhân (un) trên có tổng là bao nhiêu? 

  • Lời giải: 

    Ví dụ 3: Cho cấp số nhân Un thỏa mãn nhu cầu: $u_n=3^fracn2+1$

  • Dãy số là cấp số nhân là đúng hay sai?

  • Tính S = u2 + u4 + u6… + u20

  • Lời giải: 

  • Ta có: $fracu_n+1u_n=frac3^fracn+12+13^fracn2+1=sqrt3=const$ không tùy từng n. Vậy dãy số (Un) là một cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=3sqrt3$ và công bội là $q=sqrt3$ 

  • Dãy số: u2, u4, u6,…, u20 lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu là u2 = 9, q = 3 

  • $Rightarrow S=u_2+u_4+u_6…+u_20=u_2frac1-3^101-3=frac92(3^10-1)$

    4.5. Dạng 5: Tìm CSN

    Phương pháp:

    Xác định những thành phần cấu trúc nên một cấp số nhân như: số hạng đầu U1, công bội q tiếp theo đó suy ra được công thức cho số hạng tổng quát .

    Ví dụ 1: CSN (un) như sau, tìm u1 khi:

    Lời giải: 

    Ví dụ 2: Dãy số nào là cấp số nhân: 

  • 1;0,2;0,04;0,008;…

  • 1,22,222,2222,…

  • X,2x,3x,4x,…

  • 2,3,5,7,…

  • Lời giải: 

    Xét đáp án A ta có: 

    u1 = 1, u2 = u1 . 0,2, u3 = u1 . (0,2)2, u4 = u1 . (0,2)3

    Sử dụng phương pháp quy nạp toán học ta chứng tỏ được un = (0,2)n

    Khi đó $fracu_n+1un=frac(0,2)^n+10,2=0,2$ không đổi

    Vậy dãy số là cấp số nhân có công bội q = 0,2

    Ví dụ 3: Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết rằng tổng của năm số hạng đầu là 31 và tổng của năm số hạng sau là 62.

    Lời giải: 

    Gọi cấp số nhân (un) cần tìm có công bội q, số hạng thứ nhất un.

    Ta có: $s_5 = fracu_1 . (1-q)1-q$

    s5′ = u2 + u3 + u4 + u5 + u6

    = u1q + u2q + u3q + u4q + u5q

    = q . (u1 + u2 + u3 + u4 + u5)

    = q . S5

    Mà S5 = 31; S5′ = 62

    $Rightarrow q=2$

    $u1=fracs_5.(1-q)1-q^5=1$

    Vậy cấp số nhân (un) là một trong;2;4;8;16;32

    5. Cấp số nhân lùi vô hạn

    5.1. Định nghĩa

    Nếu cấp số nhân (un) có công bội q thỏa mãn nhu cầu -1 < q <1 thì cấp số nhân được gọi là lùi vô hạn.

    Sn = u1(1 – qn)(1 – q) = u1(qn – 1)(q – 1)

     Trong số đó sn là tổng n số hạng thứ nhất của cấp số nhân (un)

    Ví dụ: $frac13,frac19,frac127,frac181,frac1243$ là một cấp số nhân lùi vô hạn $q=frac13$

    5.2. Bài toán tổng của cấp số nhân lùi hạn

    Đề bài cho cấp số nhân lùi vô hạn (công bội q), vậy ta có tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S bằng: $S=fracu_11-q$

    Ví dụ minh họa 

    Ví dụ 1: Tính tổng 

    $S=1-frac13+frac19-frac127+…$

    Lời giải:

    Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1=1, q=frac-13$ nên 

    $S=frac11+frac13=frac1frac43=frac34$

    Ví dụ 2: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,777… dưới dạng số

    Lời giải: 

    Ta có: 

    $0,777…= 0,7+0,07+0,007+…=frac710+frac710^2+frac710^3+…=fracfrac7101-frac710=frac79$

    Vậy $0,777…=frac79$

    Ví dụ 3: Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là $frac53$ tổng ba số hạng thứ nhất của dãy số là $frac3925$. Xác định (u1), q của cấp số đó?

    Lời giải: 

    6. Một số bài tập cấp số nhân và phương pháp giải rõ ràng

    Câu 1: Cho cấp số nhân un có công bội q

  • Biết u1 = 2, u6 = 486. Tìm q

  • Biết q= $frac23$, u4 = $frac821$. Tính u1

  • Biết u1 = 3, q = -2. Xác định số 192 là số hạng thứ mấy trong cấp số nhân?

  • Lời giải: 

    Câu 2: Tìm những số hạng của cấp số nhân (un) biết cấp số nhân gồm có 5 số hạng và:

  • TH1: u3 = 3 , u5 = 27

  • TH2: u4 – u2 = 25 ,  u3 – u1 = 50

  • Lời giải: 

    Ví dụ 3: Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết rằng tổng của 5 số hạng đầu là 31 và tổng của 5 số hạng sau là 62

    Lời giải:

    Ví dụ 4: Tỉ lệ tăng dân số của tỉnh x là một trong,4%. Biết rằng tại thời gian khảo sát số dân của tỉnh lúc bấy giờ là một trong,8 triệu người, hỏi với mức tăng lương như vậy thì sau 5 năm, 10 năm số nữa dân số của tỉnh đó là?

    Lời giải:

    Gọi số dân của tỉnh đó hiện tại là N 

    Sau một năm dân số tăng là một trong,4%N 

    Vậy năm tiếp theo, số dân của tỉnh đó là n + 1,4%N = 101,4%N 

    Số dân tỉnh đó sau mỗi năm lập thành một cấp số nhân như sau N ; (101,4/100)N ; (101,4/100)2N ; … 

    Giả sử N=1,8 triệu người thì sau 5 năm số dân của tỉnh là: (101,4/100)5. 1,8 = 1,9 (triệu dân) 

    Và sau 10 năm sẽ là (101,4/100)10. 1,8 = 2,1 (triệu dân)

    Ví dụ 5: Đề bài cho un có những số hạng 0, tìm  u1 biết:

    $u_n=frac23^n-1$. Mà $u_n=frac26561 Rightarrow 3^n-1 = 6561 Rightarrow n=9$

    Lời giải: 

    Trên đấy là toàn bộ lý thuyết và những dạng công thức cấp số nhân. Mong rằng với nội dung bài viết này, những em học viên hoàn toàn có thể giải những bài tập từ cơ bản đến nâng cao thật thành thục. Các em truy vấn Vuihoc và Đk khóa học để học và ôn tập kiến thức và kỹ năng Toán 12 phục vụ ôn thi THPT QG ngay từ thời điểm ngày hôm nay nhé!

    >> Xem thêm:

    Reply
    5
    0
    Chia sẻ

    Review Chọn công thức đúng của một dãy số cấp số nhân ?

    You vừa Read nội dung bài viết Với Một số hướng dẫn một cách rõ ràng hơn về Clip Chọn công thức đúng của một dãy số cấp số nhân tiên tiến và phát triển nhất

    Chia Sẻ Link Tải Chọn công thức đúng của một dãy số cấp số nhân miễn phí

    Quý khách đang tìm một số trong những ShareLink Download Chọn công thức đúng của một dãy số cấp số nhân miễn phí.

    Hỏi đáp vướng mắc về Chọn công thức đúng của một dãy số cấp số nhân

    Nếu sau khi đọc nội dung bài viết Chọn công thức đúng của một dãy số cấp số nhân vẫn chưa hiểu thì hoàn toàn có thể lại Comments ở cuối bài để Tác giả lý giải và hướng dẫn lại nha
    #Chọn #công #thức #đúng #của #một #dãy #số #cấp #số #nhân